Question

判斷函數f(x)=

x3(ax-1)

ax+1

(a＞0，a≠1)的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

分析：判斷函數的奇偶性，首先要判斷函數的定義域，若定義域關于原點對稱，則判斷f（-x）與f（x）的關系，若f（-x）=f（x），則函數f（x）是偶函數，若f（-x）=-f（x），則函數f（x）是奇函數．

解答：解：f（x）是偶函數．
證明：f（x）定義域為全體實數，關于原點對稱．
由于 f（-x）=

(-x)3(a-x-1)

a-x+1

=-

x3( 1 ax -1)

1 ax +1

=-

x3 1-ax ax

1+ax ax

=-

x3(1-ax)

ax+1

=

x3(ax-1 )

ax+1

=f（x）
即對任意的x∈R，f（-x）=f（-x）．
所以f（x）為偶函數．

點評：本題主要考查了函數的兩大基本性質之一的函數的奇偶性．用定義判斷函數的奇偶性主要兩個基本步驟，第一步判斷函數的定義域是否關于原點對稱，第二步判斷f（-x）與f（x）的關系．本題屬于中檔題目．