Question

若函數f（x）對定義域中任意x均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數y=f（x）的圖象關于點（a，b）對稱．
（Ⅰ）已知函數的圖象關于點（0，1）對稱，求實數m的值；
（Ⅱ）已知函數g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，且當x∈（0，+∞）時，g（x）=x²+ax+1，求函數g（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的條件下，當t＞0時，若對任意實數x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函數的圖象關于點（0，1）對稱，可得f（x）+f（-x）=2，代入解析式，即可求得m的值；
（Ⅱ）利用函數g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，可得g（x）+g（-x）=2，根據x∈（0，+∞）時的解析式，即可求得結論；
（Ⅲ）對任意實數x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，等價于g（x）_max＜f（t）_min，由此可求實數a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題設，∵函數的圖象關于點（0，1）對稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴=2
∴m=1…（4分）
（Ⅱ）∵函數g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，
∴g（x）+g（-x）=2，
∵當x∈（0，+∞）時，g（x）=x²+ax+1，
∴當x＜0時，g（x）=2-g（-x）=-x²+ax+1…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，其最小值為f（1）=3
，…（10分）
①當，即a＜0時，，∴…（12分）
②當，即a≥0時，g（x）_max＜1＜3，∴a∈[0，+∞）…（13分）
由①、②得…（14分）
點評：本題考查函數的對稱性，考查函數的解析式，考查恒成立問題，正確求出函數的最值是關鍵．