Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=

7

，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據正弦定理把題設等式中的邊換成相應角的正弦，化簡整理可求得cosA，進而求得A．
（Ⅱ）根據余弦定理得a²=b²+c²-2bccos60°=7，進而根據b+c=4求得bc，進而根據三角形的面積公式求得△ABC面積．

解答：解：（Ⅰ）根據正弦定理∵2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
∴2sinB•cosA=sinC•cosA+sinA•cosC，
∵sinB≠0
∴cosA=

1

2

又∵0°＜A＜180°，∴A=60°．
（Ⅱ）由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccos60°=7，
代入b+c=4得bc=3，
故△ABC面積為S=

1

2

bcsinA=

3 3

4

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．解題的關鍵是利用這兩個定理完成了邊角問題的互化．