Question

已知公差大于零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數列{b_n}是等差數列，且b_n=

Sn

n+c

，求非零常數c；
（3）在（2）的條件下，設c_n=a_n²-λb_n，已知數列{c_n}為遞增數列，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知結合等差數列的性質列式求出a₃，a₄的值，進一步求出等差數列的首項和公差，則等差數列的通項公式可求；
（2）由數列{b_n}是等差數列，得到b₁+b₃=2b₂，結合b_n=

Sn

n+c

求得c的值；
（3）由c_n=a_n²-λb_n且數列{c_n}為遞增數列，得c_n+1-c_n＞0，整理后分離變量λ，得到λ＜16n-4，則實數λ的取值范圍可求．

解答： 解：（1）由

a3•a4=117 a2+a5=22

，得

a3•a4=117 a3+a4=22

，
解得

a3=9 a4=13

，或

a4=9 a3=13

．
∵等差數列{a_n}的公差大于零，
∴

a3=9 a4=13

．
由

a3=a1+2d=9 a4=a1+3d=13

，解得

d=4 a1=1

．
∴a_n=4n-3；
（2）由（1）得：Sn=

n(a1+an)

2

=2n2-n，
∴bn=

2n2-n

n+c

，
由b₁，b₂，b₃成等差數列得：b₁+b₃=2b₂，
∴

12

c+2

=

1

c+1

+

15

c+3

，解得：c=0或c=-

1

2

．
∴c=-

1

2

．
（3）c_n=16n²-（2λ+24）n+9，
由{c_n}為遞增數列，得c_n+1-c_n＞0，
得16（2n+1）-2λ-24＞0，
分離參數得λ＜16n-4，
又∵16n-4在n=1時取得最小值12，
∴λ＜12．

點評：本題考查了等差數列的性質，考查了等差數列的前n項和，訓練了分離變量法，是中檔題．