Question

【題目】集合A是由滿足以下性質的函數f（x）組成的：對于任意x≥0，f（x） ∈[-2，4]且f（x）在[0，+∞）上是增函數.

（Ⅰ）試判斷與（x≥0）是否屬于集合A，并說明理由；

（Ⅱ）對于（Ⅰ）中你認為屬于集合A的函數f（x），證明：對于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2）<2f（x+1）.

Answer 1

【答案】(1) ， (2)見解析.

【解析】試題分析：（I）由已知可得函數的值域，從而可得，對于，只要分別判斷函數定義域是否滿足條件①，值域是否滿足條件②，單調性是否滿足條件③，即可得答案；（II）由（I）知， 屬于集合，原不等式為，利用作差法指數冪的運算法則化簡整理可以證明結論.

試題解析：（Ⅰ） ， ，理由如下：

由于（49）=5>4， （49） [-2，4]，所以（x）A.

對于

因為在[0，+∞）上是減函數，且其值域為（0，1]，

所以在區間[0，+∞）上是增函數.

所以≥f（0）=-2，且=<4，

所以對于任意x≥0，f（x）∈[-2，4].

所以∈A

（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ，

f（x+1）=4-=4-3·，

所以2f（x+1）-[f（x）+f（x+2）]=2[4-3·]-[4-6·+4-·]=·>0，

所以對于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2）<2f（x+1）.