Question

（2012•上海二模）已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx  （x∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-m的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-x）=f（x），化簡(jiǎn)可得即log2

1

4x

-4kx=0，即-2x-4kx=0，由此求得 k的值．
（2）由以上可得 f（x）=log₂（4^x+1）-x，F(xiàn)（0）F（

1

2

）＜0，化簡(jiǎn)得（m-1）（m-log2

3

2

）＜0，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=log₂（4^x+1）+2kx （x∈R）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），即 log₂（4^-x+1）-2kx=log₂（4^x+1）+2kx，
∴log2

4-x+1

4x+1

-4kx=0，即 log2

1+4x

(4 x+1)4x

-4kx=0，即log2

1

4x

-4kx=0，即-2x-4kx=0，
∴k=-

1

2

．
（2）由以上可得 f（x）=log₂（4^x+1）-x，若函數(shù)F（x）=f（x）-m=log₂（4^x+1）-x-m 的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（0，

1

2

）內(nèi)，
則有 F（0）F（

1

2

）＜0，即 （1-m）×（log₂3-

1

2

-m）＜0，即 （m-1）（m-log2

3

2

）＜0，解得 1＜m＜log2

3

2

，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為 （1，log2

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題．