【題目】在直角坐標系
中，已知中心在原點，離心率為
的橢圓
的一個焦點為圓
： 
的圓心．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設
是橢圓
上一點，過
作兩條斜率之積為
的直線
， 
，當直線
， 
都與圓
相切時，求
的坐標．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
，或
，或
，或
.
【解析】試題分析：（1）圓心坐標是已知的，故橢圓的焦點是已知的，從而半焦距
已知了，又有離心率，故半長軸長
也能求出，從而求出
，而根據題意，橢圓方程是標準方程，可其方程易得；（2）設P點坐標為
，再設一條切線的斜率為
，則另一條切線的斜率為
，三個未知數
需要三個方程，點P在橢圓上，一個等式，兩條直線都圓的切線，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑又得到兩個等式，三個等量關系，三個未知數理論上可解了，當然具體解題時，可設切線斜率為
，則點斜率式寫出直線方程，利用圓心到切線距離等于圓半徑得出關于
的方程，而
是這個方程的兩解，由韋達定理得
，這個結果又是
，就列出了關于P點坐標的一個方程，再由P點在橢圓上，可解出P點坐標．
試題解析：（1）圓的標準方程為
，圓心為
，所以
，又
， 
， 
，而據題意橢圓的方程是標準方程，故其方程為
．4分
（2）設
，得
∵
，依題意
到
的距離為
整理得
同理
∴
是方程
的兩實根10分
12分
∴
14分
16分
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，已知A、B、C是一條直路上的三點，AB與BC各等于1 km，從三點分別遙望塔M，在A處看見塔在北偏東45°方向，在B處看塔在正東方向，在點C處看見塔在南偏東60°方向，求塔到直路ABC的最短距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某山區小學有100名四年級學生，將全體四年級學生隨機按00～99編號，并且按編號順序平均分成10組．現要從中抽取10名學生，各組內抽取的編號按依次增加10進行系統抽樣.
（1）若抽出的一個號碼為22，則此號碼所在的組數是多少？據此寫出所有被抽出學生的號碼；
（2）分別統計這10名學生的數學成績，獲得成績數據的莖葉圖如圖4所示，求該樣本的方差；
（3）在（2）的條件下，從這10名學生中隨機抽取兩名成績不低于73分的學生，求被抽取到的兩名學生的成績之和不小于154分的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學調查了某班全部 45 名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表：（單位：人）
參加書法社團 | 未參加書法社團 | |
參加演講社團 | 8 | 5 |
未參加書法社團 | 2 | 30 |
（1）從該班隨機選 1 名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；
（2）在既參加書法社團又參加演講社團的 8 名同學中，有 5 名男同學
,3名女同學
.現從這 5 名男同學和 3 名女同學中各隨機選 1 人，求
被選中且
未被選中的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ=2， 
．
（1）把圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）求經過兩圓交點的直線的極坐標方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，一輛汽車從
市出發沿海岸一條直公路以
的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在
市南偏東30°方向距
市
的海上
處有一快艇與汽車同時出發，要把一份稿件送給這輛汽車的司機.問快艇至少以多大的速度，以什么樣的航向行駛才能最快把稿件送到司機手中？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一條光線經過P(2,3)點,射在直線l:x＋y＋1＝0上,反射后穿過點Q(1,1).
(1)求入射光線的方程;
(2)求這條光線從P到Q的長度.
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