Question

將各項均為正數的數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成數表，如圖所示，記表中各行的第一個數a₁，a₂，a₄，a₇，…，構成數列{b_n}，各行的最后一個數a₁，a₃，a₅，a₁₀，…，構成數列{c_n}，第n行所有數的和為S_n（n=1，2，3， 4，…）。已知數列{b_n}是公差為d的等差數列，從第二行起，每一行中的數按照從左到右的順序每一個數與它前面一個數的比是常數q，且a₁=a₁₃=1，。

（1）求數列{c_n}，{S_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項和T_n的表達式。

Answer 1

解：（1）解：b_n=dn-d+1，前n行共有1+2+3+…+n=個數，
因為，
所以a₁₃=b₅×q²，即（4d+1）q²=1，
又因為
所以a₃₁=b₈×q²，即
解得d=2，。
所以
 。
（2）
 
①②兩式相減得


所以。