Question

袋中裝著標有數字1，2，3，4的小球各3個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3個小球上的數字互不相同的概率；
（Ⅱ）用X表示取出的3個小球上所標的最大數字，求隨機變量X的分布列和均值．

Answer 1

分析：（I）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是從12個元素中任取3個，滿足條件的事件是取出的3個小球上的數字互不相同，共有C₄³C₃¹C₃¹C₃¹種結果，根據概率公式得到結果．
（II）用X表示取出的3個小球上所標的最大數字，由題意X所有可能的取值為1，2，3，4．結合變量對應的事件寫出變量的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（I）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發生包含的事件數C₁₂³，
滿足條件的事件是取出的3個小球上的數字互不相同，共有C₄³C₃¹C₃¹C₃¹
記“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為A，
∴P(A)=

C 3 4 ? C 1 3 ? C 1 3 ? C 1 3

C 3 12

=

27

55

．
（II）由題意X所有可能的取值為：1，2，3，4．
P(X=1)=

1

C 3 12

=

1

220

；
P(X=2)=

C 2 3 ? C 1 3 + C 2 3 ? C 1 3 + C 3 3

C 3 12

=

19

220

；
P(X=3)=

C 2 6 ? C 1 3 + C 1 6 ? C 2 3 + C 3 3

C 3 12

=

64

220

=

16

55

；
P(X=4)=

C 2 9 ? C 1 3 + C 1 9 ? C 2 3 + C 3 3

C 3 12

=

136

220

=

34

55

．
∴隨機變量X的分布列為
∴隨機變量X的期望為
EX=1×

1

220

+2×

19

220

+3×

16

55

+4×

34

55

=

155

44

．

點評：本題考查古典概型，考查離散型隨機變量的分布列，考查解決實際問題的能力，是一個綜合題，注意解題的格式，遇到這種問題一定要得全分．