Question

已知a＞0，函數f（x）=（x²-2ax）e^x的最小值所在區間是（　　）

• A、(-∞，a-1-

  a2+1

  )
• B、(a-1-

  a2+1

  ，0]
• C、（0，2a）
• D、（2a，+∞）

Answer 1

分析：由題意求函數的導數，令導數為0，求得極值點，然后判斷函數的單調性，結合函數自身的零點，即可判斷函數f（x）的最小值所在區間．

解答：解：∵a＞0，函數f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f（0）=f（2a）=0
∴f′（x）=e^x（x²-2ax）+e^x（2x-2a）=e^x[x²+（2-2a）x-2a]，
令f′（x）=0，解得x₁=a-1+

a2+1

＞0，x₂=-（a-1+

a2+1

）＜0，
∵a＞0，a-1+

a2+1

＜2a?

a2+1

＜a+1?a²+1＜a²+1+2a；
∴0＜a-1+

a2+1

＜2a，
當0＜x＜x₁時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；當x＞x₁時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，
∵∴f（0）=f（2a）=0
∴函數f（x）的最小值在區間（0，2a）取得；
故選C．

點評：此題主要考查利用導數判斷函數的單調性問題，解題的關鍵是要對函數正確求導，對一些簡單函數的導數公式要熟練掌握．