Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC中點，點N在CC₁上．

(1)試確定點N的位置，使AB₁⊥MN；

(2)當AB₁⊥MN時，求二面角M-AB₁-N的大小．

Answer 1

解法Ⅰ：（1）連結MA、B₁M,過M作MN⊥B₁M交CC₁于點N.

在正△ABC中，AM⊥BC，又平面ABC⊥平面BC₁,

∴AM⊥平面BC₁ 

又MN平面BC₁  ∴MN⊥AM

又MN⊥B₁M  ∴MN⊥平面AMB₁

∴MN⊥AB₁ 

在Rt△B₁BM與Rt△MCN中，易知∠NMC=∠BB₁M

∴tan∠NMC=NC=tan∠B₁BM=

即NC= 

（2）過點M作ME⊥AB₁，垂點為E，連EN

由（1）知MN⊥平面AMB₁

∴EN⊥AB₁（三垂線定理）

∴∠MEN即為為二面角M-AB₁-N的平面角 

由AM⊥平面BC₁，知AM⊥B₁M

在Rt△AMB₁中，

AM=,B₁M=,AB₁=2

∴ME=,

又MN=

故在Rt△EMN中,

tan∠MEN= 

故二面角M-AB₁-N的大小為arctan 

法Ⅱ：（1）以點M為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則：

M（0,0,0）,B(1,0,0),A(0,-,0),B₁(1,0,2)

令N（-1,0,z） 

∴=(1,,2),=(-1,0,z) 

由AB₁⊥MN,知·=-1+2z=0

∴z=,即NC= 

(2)∵AM⊥BC,平面ABC⊥平面BC₁

∴AM⊥平面BC₁

∴AM⊥MN,又MN⊥AB₁  ∴MN⊥平面AMB₁

即=(-1,0,) 

設平面AB₁N的法向量為n=(x,y,1),

又n⊥,n⊥

且=(1,,2), =(-1,)

∴

故n=(-) 

∴·n=

而||=

∴cosθ==

故二面角M-AB₁-N的大小為arccos