Question

【題目】已知函數(shù)，記為的導(dǎo)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)，（）使得，證明：；

（2）若存在大于1的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】

（1）首先利用導(dǎo)數(shù)得到在上是增函數(shù)，然后由可得，即，然后利用基本不等式將其轉(zhuǎn)化為，即，再結(jié)合的單調(diào)性即可得證；

（2）由可得或，利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，然后分或兩種情況討論，每種情況下結(jié)合的單調(diào)性即可求出的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，

所以，故在上是增函數(shù).

又，所以.

則有，整理得.

因?yàn)?/span>且，所以，于是.

整理得，即.

又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.

（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，

即，或.

設(shè)，則，

所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

①考慮：存在大于1的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有成立.

取，則當(dāng)時(shí)，要使得恒成立，只需要滿足，解得.

②考慮：存在大于1的實(shí)數(shù)，使得時(shí)，都有成立.

若，即，則由在上單調(diào)遞減且知，

必存在，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，故符合條件.

若，則，結(jié)合在上單調(diào)遞減知，

當(dāng)時(shí)，故不存在大于1的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有成立.

綜上所述：或.