Question

如圖，已知兩個正方行ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點。

（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正值弦；
（2）用反證法證明：直線ME與BN 是兩條異面直線。

Answer 1

解：（1）取CD的中點G，連接MG，NG。 設正方形ABCD，DCEF的邊長為2， 則MG⊥CD，MG=2，NG= 因為平面ABCD⊥平面DCED， 所以MG⊥平面DCEF， 可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角。 因為MN=， 所以sin∠MNG= 則MN與平面DCEF所成角的正弦值為。
（2）假設直線ME與BN共面， 則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN 由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF。 又AB//CD， 所以AB//平面DCEF。 EN為平面MBEN與平面DCEF的交線， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF， 所以EN//EF，這與EN∩EF=E矛盾， 故假設不成立。 所以ME與BN不共面，它們是異面直線。