Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線y²=的焦點．PQ過橢圓焦點且PQ⊥x軸，A、B是橢圓位于直線PQ兩側的兩動點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AB的斜率為1，求四邊形APBQ面積的最大值；
（3）當A、B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設橢圓C的方程為
∵橢圓的一個頂點恰好是拋物線y²=的焦點，∴a=
∵離心率等于，∴，∴c=1
∴b=1
∴橢圓C的方程為；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=x+t，代入橢圓方程，消元可得3x²+4tx+2t²-2=0
由△＞0，解得-＜t＜
由韋達定理得x₁+x₂=-t，x₁x₂=．
∵PQ過橢圓焦點且PQ⊥x軸，∴|PQ|=
∴四邊形APBQ的面積S=××|x₁-x₂|=×
∴t=0時，Smax=；
（3）當∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，
PA的直線方程為y-=k（x-1），與橢圓方程聯立，消元可得（1+2k²）x²+（2k-4k²）x+k²-2k-1=0
∴x₁+1=-
同理x₂+1=-
∴x₁+x₂=，x₁-x₂=-
∴y₁-y₂=k（x₁+x₂）-2k=，x₁-x₂=-
∴
∴直線AB的斜率為定值．
分析：（1）根據離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線y²=的焦點，易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．
（2）設出直線AB的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系，求得四邊形APBQ的面積，從而可求四邊形APBQ面積的最大值；
（3）設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系，即可求得得出AB的斜率為定值．
點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據已知條件計算出橢圓的標準方程是解答本題的關鍵．