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設

，證明：
（1）當x＞1時，f（x）＜

（ x-1）；
（2）當1＜x＜3時，

。

證明：（1）記g（x）=lnx+

-1-

（x-1），
則當x＞1時，g′（x）=

＜0，
又g（1）=0，有g（x）＜0，即f（x）＜

（ x-1）；
（2）記h（x）=f（x）-

，
由（1）得，h′（x）=

＜

，
令g（x）=（x+5）³-216x，
則當1＜x＜3時，g′（x）=3（x+5）²-216＜0，
∴g（x）在（1，3）內是遞減函數，
又由g（1）=0，得g（x）＜0，
∴h′（x）＜0，
因此，h（x）在（1，3）內是遞減函數，
又由h（1）=0，得h（x）＜0，于是，當1＜x＜3時，f（x）＜

。

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=

x2-lnx （x＞0），其中a為非零常數．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若a＞0，過點P(

，0)作函數y=f（x）的導函數y=f′（x）的圖象的切線，問這樣的切線可作幾條？并加以證明．
（3）當x∈[1，2]時，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足f（x）+f'（0）-e^-x=-1，函數g（x）=-λlnf（x）+sinx是區間[-1，1]上的減函數．
（1）當x≥0時，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
（3）設函數h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數m∈Z，且m＞1，試判定函數h（x）在區間[e^-m-m，e^2m-m]內的零點個數，并作出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在R上的函數，對任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，當x＞0時，f（x）＞1，且f（3）=4；
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調性；
（3）若關于x的不等式f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）的解集中最大的整數為2，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年新課標高三配套第二次月考數學試卷（A）（解析版） 題型：解答題

設f(x)＝lnx＋－1，證明：

（1）當x>1時，f(x)< (x－1)；

（2）當1<x<3時，f(x)< .

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