Question

設函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域為R上的奇函數．
（1）求k的值，并證明當a＞1時，函數f（x）是R上的增函數；
（2）已知，函數g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；
（3）若a=4，試問是否存在正整數λ，使得f（2x）≥λ•f（x）對恒成立？若存在，請求出所有的正整數λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定義域為R上的奇函數，
∴f（0）=0，得k=1．
此時，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），即f（x）是R上的奇函數．
設x₂＞x₁，則f（x₂）-f（x₁）=--（）=（）（1+），
∵a＞1，x₂＞x₁，∴＞，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上為增函數．
（2）∵f（1）=，∴a-=，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2^x-2^-x[1，2]上為增函數，∴t∈[]，
∴g（x）=Φ（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
當t=時，g（x）有最大值，當t=2時，g（x）有最小值-2，
∴g（x）的值域[-2，]．
（3）f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x），f（x）=4^x-4^-x，
假設存在滿足條件的正整數λ，則（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x）≥λ•（4^x-4^-x），
①當x=0時，λ∈R；
②當x時，4^x-4^-x＞0，則λ≤4^x+4^-x，
令μ=4^x，則μ∈（1，2]，易證z=在（1，2]上是增函數，
則λ≤z（1）=2；
③當x時，4^x-4^-x＜0，則，
令μ=4^x，則，易證z=在[，1）上是減函數，
所以λ≥z（）=，
綜上所述，知不存在正整數λ滿足題意．
分析：（1）由f（x）為R上的奇函數可得f（0）=0，解得k值，然后進行檢驗，根據增函數的定義即可證明其單調性；
（2）由f（1）=可求得a值，則g（x）=）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），由此g（x）可化為關于t的二次函數，求出t的范圍，根據二次函數的性質即可求得g（x）的最小值、最大值，從而得其值域；
（3）按照x=0，0＜x，-x＜0三種情況，分離出參數λ后轉化為函數最值解出λ相應范圍，最后取其交集即可；
點評：本題是對函數單調性和奇偶性的綜合考查．對函數單調性和奇偶性的綜合考查的一般出題形式是解不等式的題，解題方法是先利用奇偶性進行轉化，再利用單調性解不等式．