Question

已知 A、B兩地相距2R，以AB為直徑作一個半圓，在半圓上取一點C，連接AC、BC，在三角形ABC內種草坪（如圖），M、N分別為弧AC、弧BC的中點，在三角形AMC、三角形BNC上種花，其余是空地．設花壇的面積為S₁，草坪的面積為S₂，取∠ABC=θ．
（1）用θ及R表示S₁和S₂；
（2）求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用θ及R表示出AC、BC的長，進而求出S₂；再設AB的中點為O，連MO、NO，則MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面積，進而求得S₁；
（2）先利用（1）的結論求出

S1

S2

關于θ的表達式；再結合三角函數以及函數單調性的知識即可求出

S1

S2

的最小值．

解答：解：（1）因為∠ABC=θ，則AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，
則S2=

1

2

AC•BC=2R2sinθcosθ=R2sin2θ．（3分）
設AB的中點為O，連MO、NO，則MO⊥AC，NO⊥BC．
設MO交AC與點E．
則ME=MO-OE=R-

BC

2

=R-Rcosθ=R（1-cosθ）．
所以：S_△AMC=

1

2

|AC|•|ME|=R²sinθ（1-cosθ）；（5分）
同理可得三角形BNC的面積為R²cosθ（1-sinθ），（7分）
∴S₁=R²sinθ（1-cosθ）+R²cosθ（1-sinθ）=R²（sinθ+cosθ-2sinθcosθ）．（8分）
（2）∵

S1

S2

=

R2(sinθ+cosθ-2sinθcosθ)

2R2sinθcosθ

=

sinθ+cosθ

2sinθcosθ

-1，（10分）
令sinθ+cosθ=t∈(1，

2

]，則2sinθcosθ=t²-1．
∴

S1

S2

=

t

t2-1

-1=

1

t- 1 t

-1．（12分）
∴

S1

S2

的最小值為

2

-1．（14分）

點評：本題主要考查三角函數知識與實際生活相結合問題．解決本題的關鍵在與利用三角形的有關知識求出S₁和S₂．