Question

已知關于x的方程

|x|

x+3

=kx3有三個不同的實數解，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：此題必有一根為0，利用變量分離得到

1

k

=

x3+ 3x2 x＞0 -x3-3x2 x＜0

，再利用數形結合的思想得出方程有兩個不等的實根時K的范圍．

解答：解：由題意得：

1

k

=

x3+ 3x2(x＞0) -x3-3x2(x＜0)

，
利用導函數得到原函數的單調性，找到極值點，
當x∈（0，+∞），y'=3x²+6x=0，解得x=0或-2
當x∈（0，+∞）時，y'＞0
當x∈（-∞，0），y'=-3x²-6x=0，解得x=0或-2
當x∈（-∞，-2）時，y'＜0，當x∈（-2，0）時，y'＞0
∴x=-2處取極小值
畫出等式右邊函數的草圖知-4＜

1

k

＜0或

1

k

＞0；
即K得范圍為k＞0或k＜ -

1

4

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及此題關鍵在于利用導函數畫出函數草圖，屬于基礎題．