Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1=1，an= ，n=2，3，4，…．
（1）求a2 ， a3 ， a4 ， a5的值；
（2）設bn= +1，n∈N*，求證：數列{bn}是等比數列，并求出其通項公式；
（3）對任意的m≥2，m∈N*，在數列{an}中是否存在連續的2m項構成等差數列？若存在，寫出這2m項，并證明這2m項構成等差數列；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，∴a2=1+2a1=3，

a3= +2a2= ，

a4=1+2a3=7，

a5= +2a4=

（2）解：由題意，對于任意的正整數n，bn= +1，

∴bn+1= +1，

又∵ +1=（2 +1）+1=2（ +1）=2bn，

∴bn+1=2bn，

又∵b1= +1=a1+1=2，

∴數列{bn}是首項、公比均為2的等比數列，其通項公式bn=2n

（3）解：對任意的m≥2，m∈N*，在數列{an}中存在連續的2m項構成等差數列．

對任意的m≥2，k∈N*，在數列{an}中， ， ， ，…， 這連續的2m就構成一個等差數列．

我們先來證明：“對任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有 ”，

由（2）得 ，∴ ，

當k為奇數時， = ，

當k為偶數時， =1+2a ，

記 ，∴要證 = ，只需證明 ，

其中 ，k1∈N*，

（這是因為若 ，則當 時，則k一定是奇數）

有 =

= = ，

當 時，則k一定是偶數，

有 =1+

=1+2（ ）=1+2（ ）= ，

以此遞推，要證 = ，只要證明 ，

其中 ，k2∈N*，

如此遞推下去，我們只需證明 ， ，

即 ，即 ，

由（Ⅱ）可得，所以對n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，

有 ，

對任意的m≥2，m∈N*，

= ， ，其中i∈（0，2m﹣1），i∈N*，

∴ ﹣ =﹣ ，

又 ， ，

∴ ，

∴ ， ， ，…， 這連續的2m項，是首項為 ，公差為﹣ 的等差數列

【解析】（1）由a1=1，利用遞推公式能求出a2 ， a3 ， a4 ， a5的值．（2）由題意，對于任意的正整數n，bn= +1，從而bn+1= +1，進而bn+1=2bn ， 由此能證明數列{bn}是首項、公比均為2的等比數列，并求出其通項公式．（3）對任意的m≥2，m∈N*，在數列{an}中存在連續的2m項構成等差數列．對任意的m≥2，k∈N* ， 在數列{an}中， ， ， ，…， 這連續的2m就構成一個等差數列．利用構造法和分類討論法能推導出 ， ， ，…， 這連續的2m項，是首項為 ，公差為﹣ 的等差數列．
【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．