Question

已知雙曲線C的方程為x²-15y²=15．
（1）求其漸近線方程；
（2）求與雙曲線C焦點相同，且過點（0，3）的橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（1）雙曲線方程化為標準方程，由雙曲線的標準方程可求得 a、b，可得漸近線方程．
（2）求出拋物線的焦點坐標，求出雙曲線的兩焦點坐標，即為橢圓的焦點坐標，即可得到c的值，然后根據橢圓的定義得到a，最后利用a，b，c的關系即可求出b的值，得到橢圓方程．

解答：解：（1）雙曲線方程化為

x2

15

-y2=1，（1分）
由此得a=

15

，b=1，（3分）
所以漸近線方程為y=±

1

15

x，即y=±

15

15

x．（5分）
（2）雙曲線中，c=

a2+b2

=

15+1

=4，焦點為（-4，0），（4，0）．（7分）
橢圓中，2a=

(-4-0)2+(0-3)2

+

(4-0)2+(0-3)2

=10，（9分）
則a=5，b²=a²-c²=5²-4²=9．（11分）
所以，所求橢圓的標準方程為

x2

25

+

y2

9

=1．（13分）

點評：此題考查學生掌握圓錐曲線的共同特征，會求橢圓的標準方程，是一道綜合題．本題還考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，利用條件求出a，b，c值，是解題的關鍵．