Question

已知函數(d為常數）

（1）當對，求單調區間；

（2）若函數在區間(0，1)上無零點，求a的最大值．

 

Answer 1

（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）2

【解析】

試題分析：（1）當時，先求導函數，解不等式并和定義域求交集得函數的遞增區間，解不等式并和定義域求交集得函數的遞減區間；（2）若函數在區間(0，1)上無零點相當于對，恒成立或者恒成立，則可轉化為求函數的最值．顯然當時，恒成立，當時，先求得，令得，，分別討論與定義域(0，1)的位置關系，研究函數的大致形狀，從而求其最值,若最小值大于0則恒正，若最大值小于0則 恒負．

試題解析：（1）當時，函數，

由得，由得

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為 5分

（2）若函數在區間上無零點，則

對，恒成立或者恒成立．

由，得，，

故若，恒成立；

若，，

所以，函數在區間上不可能恒成立，故要使函數在區間上無零點，只要對，恒成立． 8分

（后續步驟分為解法一和解法二）

解法一：

，

當，即時，由得，由得，

即在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；

此時，

構造，，故，

所以當時，，即對，不恒成立，舍去；

10分

當，即時，由得，由得，

即在區間上單調遞減，故，

滿足對，恒成立，

綜上，，即的最大值為2． 12分

解法二：

由對，恒成立可得對，恒成立．

令，

令，由得在區間上單調遞增，

即，從而，

即在區間上單調遞減，

由羅比達法則知，即，

若對，恒成立，可得，即的最大值為2 12分

考點：１、導數在單調性上的應用；2、利用導數求函數的極值、最值．