Question

（2013•肇慶一模）因臺風災害，我省某水果基地龍眼樹嚴重受損，為此有關專家提出兩種拯救龍眼樹的方案，每種方案都需分四年實施．若實施方案1，預計第三年可以使龍眼產量恢復到災前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第四年可以使龍眼產量為第三年產量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5．若實施方案2，預計第三年可以使龍眼產量達到災前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第四年可以使龍眼產量為第三年產量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6．實施每種方案第三年與第四年相互獨立，令ξ_i（i=1，2）表示方案i實施后第四年龍眼產量達到災前產量的倍數．
（1）寫出ξ₁、ξ₂的分布列；
（2）實施哪種方案，第四年龍眼產量超過災前產量的概率更大？
（3）不管哪種方案，如果實施后第四年龍眼產量達不到、恰好達到、超過災前產量，預計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元．問實施哪種方案的平均利潤更大？

Answer 1

分析：（1）根據題意得到兩個變量的可能取值，根據條件中所給的方案一和方案二的兩年龍眼產量的變化有關數據寫出兩個變量的分布列．
（2）根據兩種方案對應的數據，做出方案一、方案二兩年后龍眼產量超過災前產量的概率，得到結論：方案二兩年后龍眼產量超過災前產量的概率更大．
（3）根據兩年后龍眼產量和災前產量的比較，做出達不到災前產量，達到災前產量，超過災前產量的概率，列出龍眼帶來效益的分布列，做出期望．

解答：解：（1）ξ₁的分布列為：

ξ1	0.8	0.9	1.0	1.125	1.25
P1	0.2	0.15	0.35	0.15	0.15

（3分）
ξ₂的分布列為

ξ2	0.8	0.96	1.0	1.2	1.44
P2	0.3	0.2	0.18	0.24	0.08

（6分）
（2）由（1）可得ξ₁＞1的概率P（ξ₁＞1）=0.15+0.15=0.3，（7分）
ξ₂＞1的概率P（ξ₂＞1）=0.24+0.08=0.32，（8分）
∵P（ξ₂＞1）＞P（ξ₁＞1），
∴實施方案2，第四年產量超過災前概率更大．（9分）
（3）設實施方案1、2的平均利潤分別為利潤A、利潤B，根據題意，
利潤A=（0.2+0.15）×10+0.35×15+（0.15+0.15）×20=14.75（萬元）   （10分）
利潤B=（0.3+0.2）×10+0.18×15+（0.24+0.08）×20=14.1（萬元）    （11分）
∵利潤A＞利潤B，
∴實施方案1平均利潤更大．（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查解決實際問題的能力，考查對題干較長的應用題的理解，是一個綜合題．