Question

【題目】已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】當a=0時,f(x)==0,解得,函數f(x)有兩個零點，不符合題意，應舍去；

當a>0時,令，,解得x=0或>0，列表如下：

∵x→∞,f(x)→∞,而f(0)=1>0，

∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合條件：f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0，應舍去。

當a<0時,f′(x)=3ax26x=3ax(x)=0，,解得x=0或x=<0，列表如下：

而f(0)=1>0,x→+∞時,f(x)→∞，

∴存在x0>0,使得f(x0)=0，

∵f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0，

∴極小值f()>0,化為a2>4，

∵a<0，∴a<2.

綜上可知：a的取值范圍是(∞,2).

故選：A.