Question

【題目】已知是公差不為零的等差數列, 是等比數列,且,,.

(1)求數列,的通項公式；

(2)記,求數列的前項和；

(3)若滿足不等式成立的恰有個,求正整數的值.

Answer 1

【答案】(1) ，.(2) .(3) .

【解析】分析：(1) 根據,,列出關于首項、,公差與公比的方程組，解方程組可得、,公差與公比的值，從而可得數列，的通項公式；(2)由(1)可得，利用錯位相減法求和即可的結果；(3) 不等式可化為，先判斷的增減性，可得則時, 中最大的三項值為，由時滿足的共有兩個,可得，由解得，則正整數.

詳解： (1)設的公差為, 的公比為，

，；，；

由，可得，，

由可得，

則，，

則，；

(2) ，

作差可得 ，

則 ；

(3) 不等式可化為，

即 ，即，

，時一定成立,

則時,滿足的共有兩個,此時,，

即滿足的共有兩個,

令，，

，

則時,

時, ，

，，，，

則時, 中最大的三項值為，

由時滿足的共有兩個,可得，

由解得，則正整數.