Question

將51名學生分成A，B兩組參加城市綠化活動，其中A組布置400盆盆景，B組種植300棵樹苗．根據歷年統計，每名學生每小時能夠布置6盆盆景或者種植3棵樹苗．設布置盆景的學生有x人，布置完盆景所需要的時間為g（x），其余學生種植樹苗所需要的時間為h（x）（單位：小時，可不為整數）．
（1）寫出g（x）、h（x）的解析式；
（2）比較g（x）、h（x）的大小，并寫出這51名學生完成總任務的時間f（x）的解析式；
（3）應怎樣分配學生，才能使得完成總任務的時間最少？

Answer 1

分析：（1）設布置盆景的學生有x人，則B組人數為51-x，可求出A組所用時間g（x）=

400

6x

，B組所用時間h（x）=

300

3(51-x)

，化簡即可；
（2）通過比較g（x）、h（x）的大小，確定A組與B組的所需時間，寫出分段函數的解析式即可．
（3）通過兩組用時比較，計算x=20與x=21時，求出總用時最少者，即可得到結果．

解答：解：（1）設布置盆景的學生有x人，則B組人數為51-x
A組所用時間g（x）=

400

6x

=

200

3x

，0＜x＜51，B組所用時間h（x）=

300

3(51-x)

=

100

51-x

.0＜x＜51．
（2）當

200

3x

＞

100

51-x

，解得x＜

102

5

時，布置完盆景所需要的時間，多于種植樹苗所需要的時間；
當x＞

102

5

時，

200

3x

＜

100

51-x

，布置完盆景所需要的時間，少于種植樹苗所需要的時間；
這51名學生完成總任務的時間f（x）的解析式為：f（x）=

200 3x     x＜ 102 5 100 51-x    x＞ 102 5

．
（3）當x=

102

5

時，

200

3x

=

100

51-x

用時最短，因為x=

102

5

∉Z，
所以當x=20時，布置完盆景所需要的時間為：

10

3

，種植樹苗所需要的時間：

100

31

；最少用時為：

10

3

．
當x=21時，布置完盆景所需要的時間為：

200

63

，種植樹苗所需要的時間：

100

30

=

10

3

．最少用時為：

10

3

．
所以布置盆景的學生有20或21人時用時最少．

點評：本題主要考查了線性規劃知識在實際問題中的應用，解題的關鍵是要把實際問題轉化為數學問題．