Question

如圖，從邊長為的正方形鐵皮的四個角各截去一個邊長為的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，且要求長方體的高度與底面正方形的邊長的比不超過常數(shù)，問：取何值時，長方體的容積V有最大值？

Answer 1

略

此題是一道應用題，主要還是考查導數(shù)的定義及利用導數(shù)來求區(qū)間函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確．
求體積最大值的問題，由題意解出v的表達式，對函數(shù)v進行求導，解出極值點，然后根據(jù)極值點來確定函數(shù)v的單調區(qū)間，
因極值點是關于a，t的表達式，此時就需要討論函數(shù)v的單調性，分別代入求出最大值，從而求解．
解：長方體的體積V(x)＝4x(x－a)²，(o＜x＜a)，…………………………2分
由≤ t 得　0＜x≤< a …………………4分
而V′＝12(x－)(x－a)  ∴V在（0，）增，在（，a）遞減……………6分