Question

（1）一個動點P在圓x²+y²=4上移動時，求點P與定點A（4，3）連線的中點M的軌跡方程．
（2）自定點A（4，3）引圓x²+y²=4的割線ABC，求弦BC中點N的軌跡方程．
（3）在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上．
①求圓C的方程；
②若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

分析：（1）設出中點M的坐標，由中點坐標公式得到P點坐標，把P的坐標代入圓的方程即可得到M的軌跡；
（2）設出N點坐標，由ON和AC垂直利用斜率之積等于-1得軌跡方程；
（3）①由題意設出圓心坐標，求出曲線y=x²-6x+1與坐標軸的交點，由兩交點到圓心距離相等求出圓心坐標，則圓的方程可求；
②聯立圓C與直線x-y+a=0，化為關于x的一元二次方程后利用x₁x₂+y₁y₂=0求解a的值．

解答：解：（1）設中點M坐標為（x，y），由中點坐標公式得動點P的坐標為（2x-4，2y-3），
將P點坐標代入圓得到的關于x、y的方程，就是中點M的軌跡方程（因為點P在圓上）．
即（2x-4）²+（2y-3）²=4；
（2）設中點N坐標為（x，y），圓心為O，則ON⊥AC，且圓心坐標為（0，0），于是
由kAC=

y-3

x-4

，kON=

y

x

，
因為ON⊥AC，所以k_AC•k_ON=-1，即

y-3

x-4

•

y

x

=-1，整理得
（x-2）²+（y-

3

2

）²=

25

4

；
（3）①根據題意，可設圓心為（3，b）．
由y=x²-6x+1，令x=0，則y=1；令y=0，則x=3±2

2

所以，（3-0）²+（b-1）²=（±2

2

）²+b²，解得b=1，則（±2

2

）²+b²=9
所以，圓C方程為（x-3）²+（y-1）²=9
②設坐標：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B同時滿足直線x-y+a=0和圓（x-3）²+（y-1）²=9
聯立方程組把y消去，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0
由已知有A、B兩個交點，即方程兩個解，則△=56-16a-4a²＞0，
因此有x₁+x₂=4-a，x1x2=

a2-2a+1

2

③
由OA⊥OB可知，x₁x₂+y₁y₂=0，且y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
即x1x2+a(x1+x2)+a2=0④
把④代入③解得a=-1，將其代入△=56-16a-4a²進行檢驗，
△=56+16-4=68＞0，即符合．所以a=-1．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓相交的性質，解答的關鍵是靈活運用圓的對稱性，考查了一元二次方程的根與系數的關系，訓練了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．