Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)滿足,對于任意R都有,且
,令.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
研究函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).

Answer 1

(本小題主要考查二次函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點、分段函數(shù)等知識, 考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應(yīng)用意識)
(1) 解：∵，∴.                                         …… 1分               
∵對于任意R都有,
∴函數(shù)的對稱軸為，即，得.       …… 2分
又，即對于任意R都成立，
∴,且．
　　　　∵，     ∴．
　　　　∴．                                             …… 4分
(2) 解：            …… 5分
① 當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，
若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增；        …… 6分
若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
…… 7分
② 當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，
　則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  …… 8分
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
；                                                     …… 9分
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
和．                                        …… 10分
(3)解：① 當(dāng)時，由(2)知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
　　　　　又，
　　　　　故函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點．                      …… 11分
　　　　② 當(dāng)時，則，而，
　　　　，
（ⅰ）若，由于，
且，
此時，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點；                    …… 12分
　　　　（ⅱ）若，由于且，此時，函數(shù)在區(qū)間  
上有兩個不同的零點．                                         …… 13分
　　 　綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點；
　　　　　　　 　當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點．   …… 14分

略