Question

某分公司經銷某種產品，每件產品的成本為6元，并且每件產品需向總公司交a元（2≤a≤6）的管理費，預計當每件產品的售價為x元（13≤x≤14）時，一年的銷售量為16-x萬件．
（1）求分公司一年的利潤y（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；
（2）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤y最大，并求出y的最大值M（a）．

Answer 1

分析：（1）根據題意先求出每件產品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤y（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式，注意變量的范圍；
（2）根據二次函數，利用配方法討論對稱軸，分別求出y的最大值M（a），最后利用分段函數表示即可．

解答：解：（1）y=f（x）=（x-6-a）（16-x），
即y=-x²+（a+22）x-16a-96，x∈[13，14]．…（4分）
（2）y=- ( x-

a+22

2

 )2+( 

a+22

2

 )2 -16a-96，…（6分）
∵2≤a≤6，∴12≤

a+22

2

≤14．…（7分）
①當13≤

a+22

2

≤14，即4≤a≤6時，M(a)=f(

a+22

2

)=

1

4

a2-5a+25；…（10分）
②當12≤

a+22

2

＜13，即2≤a＜4時，M（a）=f（13）=-3a+21．…（13分）
綜上，M(a)=

-3a+21         ( 2≤a＜4 ) 1 4 a2-5a+25  ( 4≤a≤6 )

．
答：若2≤a＜4，則當售價為13元時，利潤最大，為-3a+21萬元；
若4≤a≤6，則當售價為

a+22

2

元時，利潤最大，為

1

4

a2-5a+25萬元．…（14分）

點評：本題主要考查了函數的導數的求法以及利用二次函數求得函數的最值問題，是各地高考的熱點和難點，解題時注意自變量的取值范圍以及分類討論等數學思想的運用，屬于中檔題．