Question

已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率,A為右頂點,K為右準線與X軸的交點，且.
(I)求橢圓的標準方程；
(II)設橢圓的上頂點為B，問是否存在直線l,使直線l交橢圓于C，D兩點，且橢圓的左焦點巧恰為ΔBCD的垂心?若存在,求出l的方程_r若不存在,請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）設焦點坐標為F₁(-c，0)，F₂(c，0)，
由，得．   ①
由題知 A(a，0)，K(，0)，
∴ =(c-a，0)，=(-a，0)，
由得②
由①、②解得，c=1，從而b²=a²-c²=1，即b=1．
∴ 橢圓方程為．……………………………………………………4分
（Ⅱ）假設存在直線l滿足題意，B(0，1)，F₁(-1，0)，
于是直線F₁B的斜率為．
由于BF₁⊥CD，令l：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得
3x²-4mx+2m²-2=0.
令C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，則
又=(x₁+1，y₁)·(x₂，y₂-1)
=x₁x₂+x₂+y₁y₂-y₁
=x₁x₂+x₂+(m-x₁)(m-x₂)-(m-x₁)
=2x₁x₂+m²-m(x₁+x₂)-m+(x₁+x₂)
=2x₁x₂ +(1-m)(x₁+x₂) +m²-m，
由，代入x₁+x₂，x₁x₂得，
整理得3m²+m-4=0，
解得m=1或．……………………………………………………………10分
當m=1時，直線l恰過B點，于是B、C、D不構成三角形，故m=1舍去．
當的，滿足Δ=8(3-m²)>0．
故所求的直線l為：，即3x+3y+4=0．

略