Question

已知圓心為P的動圓與直線y=-2相切，且與定圓x²+（y-1）²=1內切，記點P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設斜率為2

2

的直線與曲線E相切，求此時直線到原點的距離．

Answer 1

分析：（1）利用直線與圓相切的性質、兩圓相內切的性質及拋物線的定義即可得出；
（2）利用導數的幾何意義、直線的點斜式、點到直線的距離公式即可得出．

解答：解：（1）設圓心P（x，y），∵圓P與直線y=-2相切，∴圓P的半徑R=|y+2|．
又∵原P與定圓x²+（y-1）²=1內切，
∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，
∴點P到定直線y=-1與到定點F（0，1）的距離相等，
∴點P的軌跡是拋物線x²=4y．即曲線E的方程為x²=4y．
（2）設斜率為2

2

的直線與曲線E相切于點M（x₀，y₀）．
由曲線E的方程為x²=4y，∴y′=

x

2

，∴切線的斜率為

x0

2

，
∴

x0

2

=2

2

，即x0=4

2

，∴y0=

(4 2 )2

4

=8，
∴切點為(4

2

，8)．
∴切線方程為y-8=2

2

(x-4

2

)，化為2

2

x-y-8=0．
∴原點到此切線的距離d=

|0-0-8|

(2 2 )2+(-1)2

=

8

3

．

點評：熟練掌握直線與圓相切的性質、兩圓相內切的性質及拋物線的定義、導數的幾何意義、直線的點斜式、點到直線的距離公式是解題的關鍵．