Question

（2013•東莞一模）向量

a

=(

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx)，

b

=(1，y)，已知

a

∥

b

，且有函數y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的周期；
（2）已知銳角△ABC的三個內角分別為A，B，C，若有f(A-

π

3

)=

3

，邊BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的長及△ABC的面積．

Answer 1

分析：由兩向量的坐標及平行向量滿足的條件列出關系式，利用兩角和與差的正弦函數公式整理后得出f（x）的解析式；
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；
（2）由f（A-

π

3

）=

3

得sinA的值，根據三角形ABC為銳角三角形，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，確定出sinA的值，再由BC及sinB的值，利用正弦定理求出AC的長，再由BC，AC及cosA的值，利用余弦定理求出AB的長，由AB，AC及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：∵

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx），

b

=（1，y），
∴

a

∥

b

=

1

2

y-（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=0，即y=f（x）=2sin（x+

π

3

），
（1）∵ω=1，∴函數f（x）的周期為T=2π；
（2）由f（A-

π

3

）=

3

得2sin（A-

π

3

+

π

3

）=

3

，即sinA=

3

2

，
∵△ABC是銳角三角形，
∴A=

π

3

，
由正弦定理：

BC

sinA

=

AC

sinB

及條件BC=

7

，sinB=

21

7

，得AC=

BCsinB

sinA

=

7 × 21 7

3 2

=2，
又∵BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，即7=AB²+4-2•AB×2×

1

2

，
解得：AB=3，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC•sinA=

3 3

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平行向量與共線向量，兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵．