Question

已知函數f(x)=

3

sin2x+2cos2x-m．
（1）若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，求m的取值范圍；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，當（1）中的m取最大值且f（A）=-1，b+c=2時，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據二倍角公式和兩角和與差的公式對函數f（x）進行化簡，再由方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解可得到m=2sin(2x+

π

6

)+1在[0，

π

2

]內有解，根據x的范圍可求得2x+

π

6

的范圍，再根據正弦函數的性質可求得m的范圍．
（2）將m=3代入得到f（A）的表達式，根據f（A）=-1和A的范圍可求得A的值，再由b+c=2≥2

bc

和余弦定理可求得a的最小值．

解答：解：（1）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1-m，∴m=2sin(2x+

π

6

)+1在[0，

π

2

]內有解
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴0≤2sin(2x+

π

6

)+1≤3，∴0≤m≤3

（2）∵m=3，∴f(A)=2sin(2A+

π

6

)-2=-1，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，∴2A+

π

6

=

π

6

+2kπ或2A+

π

6

=

5π

6

+2kπ，(k∈Z)
∵A∈（0，π）∴A=

π

3

∵b+c=2≥2

bc

當且僅當b=c時bc有最大值1．
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc，
∴a有最小值1，此時b=c=1．

點評：本題主要考查二倍角公式、余弦定理和兩角和與差的公式的應用．高考對三角函數的考查以基礎題為主，但是這部分公式比較多不容易記憶，也為這一部分增加了難度．