Question

某同學在研究函數f(x)=

x

|x|+1

（x∈R）時，分別給出下面幾個結論：
（1）函數f（x）是奇函數；
（2）函數f（x）的值域為（-1，1）；
（3）函數f（x）在R上是增函數；
（4）函數g（x）=f（x）-b（b為常數，b∈R）必有一個零點．
其中正確結論的序號為

 

．（把所有正確結論的序號都填上）

Answer 1

分析：充分利用題中的函數f(x)=

x

|x|+1

（x∈R）解析式特點，研究函數的性質，如定義域、值域、奇偶性、單調性、零點等，逐一分析各個選項的正確性．

解答：解：∵函數f（x）的定義域是實數集，f（-x）=-f（x），∴函數f（x）是奇函數，故（1）正確；
∵|f（x）|=

|x|

|x|+1

＜1，∴-1＜f（x）＜1，故（2）正確；
∵奇函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，∴f（x）在其定義域內是增函數，故（3）正確；
令函數g（x）=f（x）-b=0   ①，即f（x）=b，∵由（2）知：-1＜f（x）＜1，
∴當b≥1或b≤-1時，①無解，即函數g（x）=f（x）-b無零點；故（4）不正確．
綜上，中正確結論的序號為（1）、（2）、（3）．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，函數值域及函數的零點．