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已知二階矩陣A屬于特征值-1的一個特征向量為

-1

，屬于特征值7的一個特征向量為

①求矩陣A；
②求解方程 A

．

分析：（1）根據特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數法建立四個等式關系，解四元一次方程組即可．
（2）根據（1）中矩陣，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩陣的公式，求出A^-1，求解A-1

7
14

即可．

解答：解：（1）設矩陣A=

a	b
c	d

，
由A屬于特征值-1的一個特征向量為

-1

，得

a	b
c	d

-1

=-1

-1

，
即

-a+3b=1

-c+3d=-3

；
由矩陣A屬于特征值7的一個特征向量為

，可得

a	b
c	d

，
即

a+b=7

c+d=7

，
解得

a=5
b=2

c=6
d=1

，即矩陣A=

5	2
6	1

．
（2）由（1）知，ad-bc=-7，則A^-1=

-7

-6

-7

-2

-7

，
則

x
y

11
-8

，
故方程的解：

x=11

y=-8

．

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣，正確理解特征值與特征向量是關鍵，屬于基礎題．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
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求證：DE是⊙O的切線．
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已知二階矩陣A有特征值-1及其對應的一個特征向量為

-4

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C．選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρcos(θ-

，曲線C的參數方程為

x=2cosα

y=sinα

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科目：高中數學 來源： 題型：

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A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

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-1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

)，直線l過點A且傾斜角為

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值λ₁=1及對應的一個特征向量e1=

和特征值λ₂=2及對應的一個特征向量e2=

，試求矩陣A．

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科目：高中數學 來源： 題型：

[選做題]已知二階矩陣M屬于特征值3的一個特征向量為

，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變成點（9，15），求出矩陣M．

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