Question

已知函數
（1）求函數f（x）的單調區間．
（2）設P為函數f（x）圖象上的一點，以線段OP為母線繞x軸旋轉得到幾何體M，求幾何體M的體積的最大值．
（3）如果0＜x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），試比較f（x₂）與f（2-x₁）的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數，利用導數的正負，可得函數的單調區間；
（2）表示出幾何體M的體積，利用導數，確定函數的單調性，可得結論；
（3）確定0＜x₁＜1＜x₂，2-x₁＞1，分類討論，可得結論．
解答：解：（1）求導函數，可得
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函數的單調遞增區間是（0，1），單調遞減區間是（1，+∞）；
（2）幾何體M的體積V=（x＞0）
∴V′=
∴x∈（0，9）時，V′＞0，函數單調遞增；x∈（9，+∞）時，V′＜0，函數單調遞減，
∴x=9時，V取得最大值，最大值為；
（3）∵0＜x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），函數的單調遞增區間是（0，1），單調遞減區間是（1，+∞），
∴0＜x₁＜1＜x₂，
∴2-x₁＞1
若1＜x₂＜2-x₁，則f（x₂）＞f（2-x₁）；若x₂＞2-x₁＞1，則f（x₂）＜f（2-x₁）．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查大小比較，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．