Question

【題目】已知函數.

(1)討論的單調性；

(2)若有極值點，有兩個零點，且恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)在上單調遞增，在上單調遞減；(2).

【解析】

（1）求導，討論，得到函數的單調區間.

（2）計算，化簡得到，令，取

根據函數的單調性得到取值范圍.

(1)定義域為且，

①當時，，在上單調遞增，

②當時，令，則，

當時，；當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

(2)，為的兩個零點，

，

恒成立，恒成立，

恒成立，

恒成立，

不妨設，恒成立，

恒成立，

令，在上恒成立，

因為，，

所以時，在上不成立.

令，

則，，

①當時，，

從而，所以在區間上單調遞減，

所以當時，恒成立；

②當時，對于方程，

因為，

所以方程有兩根且，，

不妨設，

則當時，，即，

所以在區間上單調遞增，此時，

即在上不恒成立，

綜上所述，的取值范圍是.