Question

【題目】橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為，離心率為，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點M（0，-1），直線l經過點N（2，1）且與橢圓C相交于A,B兩點（異于點M），記直線MA的斜率為，直線MB的斜率為，證明 為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)根據已知得到關于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓的標準方程；(Ⅱ)先考慮直線l的斜率不存在的情況，再考慮斜率存在的情況，直線l的方程與橢圓的標準方程聯立得到韋達定理，再求出，化簡即得其為定值.

（Ⅰ）將代入中，由可得，

所以弦長為，

故有，解得，

所以橢圓的方程為：．

（Ⅱ）若直線l的斜率不存在，即直線的方程為x=2，與橢圓只有一個交點，不符合題意。

設直線l的斜率為k，若k=0，直線l與橢圓只有一個交點，不符合題意，故k≠0.

所以直線l的方程為，即， 直線l的方程與橢圓的標準方程聯立得：

消去y得:,

設，則，

,

把代入上式，得

，命題得證.