Question

（08年南昌市三校聯考文）如圖，的內切圓與三邊AB、BC、CA的切點分別為D、E、F，已知，

，內切圓圓心，設點A的軌跡為L，

①求L的方程；

②過點C作直線m交曲線L于不同的兩點M、N，問在x軸上是否存在一個異于C的定點

Q，使，對任意的直線m都成立？若存在，試求出點Q的坐標，

若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

解析：（1）由題知：，，

        

         ，，      

        

根據雙曲線的定義知，點A的軌跡是以B、C為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支除去E（1，0），故L的方程為（x>1）

（2）設點Q（x₀，0）、M（x₁，y）、W（x₂、y₂）

由（1）可知C（）

于是（1）當直線軸時，點在x軸任何一點處，都能夠使得成立

（2）當直線MN不與x軸垂直時，設直線MN：

         由消去y，得

        

則             

        

        

        

        

所以，要使成立

要使成立

即         即

即()=

        

即          即

所以，當點Q的坐標為時，能夠使得成立