Question

（本小題滿分12分）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.
 
(Ⅰ)求橢圓M的標準方程；
(Ⅱ) 設直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.

Answer 1

(I) .(II) 時，取得最大值.

試題分析：（1）根據已知中的離心率和矩形的面積得到a,b,c的方程，進而求解橢圓方程。
（2）將已知中的直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理得到根與系數的關系，那么得到弦長公式，同時以及得到點S,T的坐標，進而得到比值。
(I)……①
矩形ABCD面積為8，即……②
由①②解得：， ∴橢圓M的標準方程是.
(II)，
設，則，
當  .
當時，有，
，
其中，由此知當，即時，取得最大值.
點評：解決該試題的關鍵是運用代數的方法來解決解析幾何問題時，解析幾何的本質。能結合橢圓的性質得到其方程，并聯立方程組，結合韋達定理和判別式的到比值。