Question

（2007•咸安區(qū)模擬）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，g（x）是定義域?yàn)镽的恒大于零的函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）．若f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集是（　　）

A．（-∞，-1）∪（1，+∞）

B．（-1，0）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（0，1）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：首先，因?yàn)間（x）是定義域?yàn)镽的恒大于零的函數(shù)，所以f（x）＞0式的解集等價(jià)于

f(x)

g(x)

＞0的解集．由當(dāng)x＞0時(shí)有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可以證明

f(x)

g(x)

的單調(diào)性，從而使問(wèn)題得解．

解答：解：首先，因?yàn)間（x）是定義域?yàn)镽的恒大于零的函數(shù)，所以f（x）＞0式的解集等價(jià)于

f(x)

g(x)

＞0的解集．
下面我們重點(diǎn)研究

f(x)

g(x)

的函數(shù)特性．因?yàn)楫?dāng)x＞0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），所以當(dāng)x＞0，(

f(x)

g(x)

)/＜0．也就是

f(x)

g(x)

，當(dāng)x＞0時(shí)，是遞減的．
由f（1）=0得

f(1)

g(1)

=0．所以有遞減性質(zhì)，（0，1）有

f(x)

g(x)

＞0．
由f（x）是奇函數(shù)，f（-1）=0，x＜-1時(shí)，

f(x)

g(x)

=-

f(-x)

g(x)

＞0 不等f(wàn)（x）＞0式的解集是（-∞，-1）∪（0，1），
故選C．

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，找出函數(shù)的零點(diǎn)，并以零點(diǎn)為端點(diǎn)將定義域分為幾個(gè)不同的區(qū)間，然后在每個(gè)區(qū)間上結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，這是分類(lèi)討論思想在解決問(wèn)題的巨大作用的最好體現(xiàn)，分類(lèi)討論思想往往能將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題的簡(jiǎn)單化，是高中階段必須要掌握的一種方法．