Question

（本小題10分）

已知圓C過點M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上.

   （1）求圓C的方程；

（2）設直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（本小題10分）

解：（1）設圓C的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0

   則有      …………………2分

解得        ……………………………4分

∴圓C的方程為：x²+y²-6x+4y+4=0  …………5分

（2）設符合條件的實數存在，

由于l垂直平分弦，故圓心必在l上．

所以l的斜率，

而，  所以．       …………7分

把直線ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圓的方程，

消去，整理得．

由于直線交圓于兩點，

故，

即，解得．

則實數的取值范圍是．…………………9分

由于，

故不存在實數，使得過點的直線l垂直平分弦．………10分