Question

（1）已知曲線C的極坐標方程為ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

；
（Ⅰ）若以極點為原點，極軸所在的直線為x軸，求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，求3x+4y的最大值
（2）已知a，b，c為實數，且a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0
（I）求證：a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
（II）求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）（I）根據的極坐標和直角坐標的互化公式，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，再化為參數方程．
（II）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，則P（3cosθ，2sinθ），利用輔助角公式可得3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin（θ+∅），令sin（θ+∅）=1，求得3x+4y的最大值；
（2）（I）根據柯西不等式直接證明即可；
（II）將（I）中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0代入，消去a、b、c得到關于m的不等關系，解之即可求出m的范圍．

解答：解：（1）（I）把曲線C的極坐標方程為ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

；
化為直角坐標方程為

x2

9

+

y2

4

=1，
（II）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，則P（3cosθ，2sinθ），
可得3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin（θ+∅），故當sin（θ+∅）=1時，3x+4y 取得最小值為

145

．
（2）（I）根據柯西不等式可得（a2+

1

4

b2+

1

9

c2）（1+2²+3²）≥（a×1+

b

2

×2+

c

3

×3）2=（a+b+c）²
∴a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c) 2

14

（II）∵a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0
∴1-m≥

(2m-2)2

14

解得：-

5

2

≤m≤1．

點評：本題主要考查點的極坐標和直角坐標的互化，輔助角公式的應用，以及不等式的證明等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．