Question

已知盒子里有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為4的球3個．
（1）若從盒子里一次任取3個球，假設取出每個球的可能性都相同，求取出的三個球中標號為1，2，4的球各一個的概率；
（2）若第一次從盒子里任取1個球，放回后，第二次再任取1個球，假設取出每個球的可能性都相同，記第一次與第二次取出球的標號之和為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是從10個球中取3個，共有C₁₀³種結果，而滿足條件的事件是取出的三個球中標號為1，2，4的球各一個有C₃¹C₄¹C₃¹種結果，根據古典概型公式得到結果．
（2）由題意可得，隨機變量ξ的取值分別是2，3，4，5，6，8．當變量取2時表示得到兩個球標號都是1，根據古典概型公式得到概率，以此類推，做出其他的概率，寫出分布列，求出期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，
設從盒子里一次任取3個球，取出的三個球中標號為1，2，4的球各一個的概率為P，
試驗包含的所有事件是從10個球中取3個，共有C₁₀³種結果，
而滿足條件的事件是取出的三個球中標號為1，2，4的球各一個有C₃¹C₄¹C₃¹種結果，
∴P=

C 1 3 • C 1 4 • C 1 3

C 3 10

=

3

10

．
即取出的三個球中標號為1，2，4的球各一個的概率為

3

10

．
（Ⅱ）由題意可得，隨機變量ξ的取值分別是2，3，4，5，6，8．
則隨機變量ξ的分布列如下：
P（ξ=2）=

C 1 3 • C 1 3

C 1 10 • C 1 10

=0.09
P（ξ=3）=

2• C 1 3 • C 1 4

C 1 10 • C 1 10

=0.24
P（ξ=4）=

C 1 4 • C 1 4

C 1 10 • C 1 10

=0.16
P（ξ=5）=

2• C 1 3 • C 1 3

C 1 10 • C 1 10

=0.18
P（ξ=6）=

2• C 1 4 • C 1 3

C 1 10 • C 1 10

=0.24
P（ξ=8）=

C 1 3 • C 1 3

C 1 10 • C 1 10

=0.09
∴變量的分布列是

∴Eξ=2×0.09+3×0.24+4×0.16+5×0.18+6×0.24+8×0.09=4.6

點評：本題考查求離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．