Question

是否存在常數k和等差數列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立，其中S_n為{a_n}的前n項和，若存在，試求出常數k和數列{a_n}的通項；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：設a_n=pn+q（p，q為常數），則Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
Sn=

1

2

pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=

3

2

pn2+(q-

p

2

)n-(p+q)，
則kp2n2+2kpqn+kp2-1=

3

2

pn2+(q-

p

2

n)-(p+q)，故有

kp2= 3 2 p…① 2kpq=q- p 2 …② kq2-1=-(p+q)…③

，由此能夠求出常數k=

81

64

及等差數列an=

32

27

n-

8

27

滿足題意．

解答：解：假設存在常數k和等差數列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．
設a_n=pn+q（p，q為常數），則Ka_n²-1=kp²n²+2kpqn+kq²-1，
Sn=

1

2

pn(n+1)+qnS2n-Sn+1=

3

2

pn2+(q-

p

2

)n-(p+q)，
則kp2n2+2kpqn+kp2-1=

3

2

pn2+(q-

p

2

n)-(p+q)，
故有

kp2= 3 2 p…① 2kpq=q- p 2 …② kq2-1=-(p+q)…③

，

由①得p=0或kp=

3

2

．當p=0時，由②得q=0，而p=q=0不適合③，故p≠0把kp=

3

2

代入②，得q=-

p

4

把q=-

p

4

代入③，又kp=

3

2

得p=

32

27

，從而q=-

8

27

，k=

81

64

．故存在常數k=

81

64

及等差數列an=

32

27

n-

8

27

滿足題意．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時先假設存在常數k和等差數列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立．然后再根據題設條件進行求解．