Question

已知函數，函數．
(I)試求f(x)的單調區間。
(II)若f(x)在區間上是單調遞增函數，試求實數a的取值范圍：
(III)設數列是公差為1．首項為l的等差數列，數列的前n項和為，求證：當時，.

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區間是；的單調遞減區間是；
（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析.

試題分析：（Ⅰ） 利用導數值非負，得的單調遞增區間是；利用導數值非正，得到的單調遞減區間是；
（Ⅱ）利用在是單調遞增函數，則恒成立，只需恒成立，轉化成
，利用，得到.
（Ⅲ）依題意不難得到，=1+++，
根據時， =+在上為增函數，
可得，從而;
構造函數，利用“導數法”得到, 從而不等式成立.
應用“累加法”證得不等式.
本題解答思路比較明確，考查方法較多，是一道相當典型的題目.
試題解析：（Ⅰ）=，所以，,
因為，，所以，令，，
所以的單調遞增區間是；的單調遞減區間是；4分
（Ⅱ）若在是單調遞增函數，則恒成立，即恒成立
即，因為，所以故.                .7分
（Ⅲ）設數列是公差為1首項為1的等差數列，所以，=1+++，
當時，由（Ⅱ）知：=+在上為增函數，
=-1，當時，，所以+，即
所以;
令，則有，當，有
則,即,所以時,
所以不等式成立.
令且時，
將所得各不等式相加，得

即
（且）．                   13分