Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n,已知a₁=1,a₂=6,a₃=11,且(5n-8)S_n+1-(5n+2)S_n=An+B,n=1,2,3,…,其中A、B為常數.

(1)求A與B的值;

(2)證明數列{a_n}為等差數列;

(3)證明不等式＞1對任何正整數m、n都成立.

Answer 1

(1)解:由已知得S₁=a₁=1,S₂=a₁+a₂=7,S₃=a₁+a₂+a₃=18.

由(5n-8)S_n+1-(5n+2)S_n=An+B知,

解得A=-20,B=-8.

(2)證法一:由(1)得(5n-8)S_n+1-(5n+2)S_n=-20n-8,①

∴(5n-3)S_n+2-(5n+7)S_n+1=-20n-28,②

②-①得(5n-3)S_n+2-(10n-1)S_n+1+(5n+2)S_n=-20,③

∴(5n+2)S_n+3-(10n+9)S_n+2+(5n+7)S_n+1=-20,④

④-③得(5n+2)S_n+3-(15n+6)S_n+2+(15n+6)S_n+1-(5n+2)S_n=0.

∵a_n+1=S_n+1-S_n,∴(5n+2)a_n+3-(10n+4)a_n+2+(5n+2)a_n+1=0.

又∵5n+2≠0,∴a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0,即a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1,n≥1.

又a₃-a₂=a₂-a₁=5,∴數列{a_n}為等差數列.

證法二:由已知,S₁=a₁=1,

又(5n-8)S_n+1-(5n+2)S_n=-20n-8且5n-8≠0,

∴數列{S_n}是唯一確定的,因而數列{a_n}是唯一確定的.設b_n=5n-4,

則數列{b_n}是等差數列,前n項和T_n=,

于是(5n-8)T_n+1-(5n+2)T_n=(5n-8)=-20n-8.

由唯一性得b_n=a_n,即數列{a_n}是等差數列.

(3)證明:由(2)可知a_n=1+5(n-1)=5n-4,

要證＞1,

只要證5a_mn＞1+a_m·a_n+,

因為a_mn=5mn-4,

a_m·a_n=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,

故只要證5(5mn-4)＞1+25mn-20(m+n)+16+,

即只要證20m+20n-37＞.

因為≤a_m+a_n=5m+5n-8＜5m+5n-8+(15m+15n-29)

=20m+20n-37,

所以原命題得證.

    深化升華 本小題主要考查等差數列的有關知識,不等式的證明方法,考查思維能力,運算能力.