Question

在R上定義運算：x?y=x（1-y），若?x∈R使得（x-a）?（x+a）＞1成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  2

  ）∪（

  3

  2

  ，+∞）
• B、（-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• C、（-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ）
• D、（-∞，-

  3

  2

  ）∪（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先利用定義把（x-a）?（x+a）整理成-（x-

1

2

）²+a²-a+

1

4

，結合題中不等式解集不是空集，可得函數y=-（x-

1

2

）²+a²-a+

1

4

的最大值大于1，由二次函數的性質得：f（

1

2

）=a²-a+

1

4

＞1成立，解之可得a＜-

1

2

或a＞

3

2

．

解答：解：由題知（x-a）?（x+a）=（x-a）[1-（x+a）]=-x²+x+a²-a=-（x-

1

2

）²+a²-a+

1

4

．
∴?x∈R，使得不等式（x-a）?（x+a）＞1成立，
轉化為函數y=-（x-

1

2

）²+a²-a+

1

4

的最大值大于1，
即f（

1

2

）=a²-a+

1

4

＞1成立，解之可得a＜-

1

2

或a＞

3

2

．
故選A．

點評：本題考查了在新定義下對函數恒成立問題的應用．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．