Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（I）求證：數列{a_n}是等差數列；
（II）設數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得S_n=na_n-2n（n-1）與則S_n+1=na_n+1-2（n+1）n，結合a_n+1=S_n+1-S_n可得a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-4n，化簡可得a_n+1-a_n=4，即可得結論；
（2）由（1）可得a_n=4n-3，則Tn=

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)×(4n+1)

，由裂項相消法，計算可得答案．

解答：解：（I）由S_n=na_n-2n（n-1），
則S_n+1=na_n+1-2（n+1）n，
又由a_n+1=S_n+1-S_n可得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
即a_n+1-a_n=4，
則數列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數列；
（II）由（1）可得a_n=4n-3．
則Tn=

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n-3)×(4n+1)

=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+

1

9

-

1

13

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

4

(1-

1

4n+1

)．

點評：本題考查用裂項相消法求數列的和以及等差數列的確定；利用a_n+1=S_n+1-S_n的關系，結合題意，得到a_n+1-a_n=4，是解題的關鍵點．