Question

已知a＞0，設命題p：函數f（x）=a^x在R上是增函數，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，
（1）若函數y=f（x+1）恒過定點M（1，4），求a
（2）若p和q中有且只有一個命題為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求復合函數f（x+1）的解析式，再將點M（1，4）代入即可解得a值
（2）先求命題P的等價命題，即a＞1，再求命題q的等價命題，即a＞，最后由有且只有一個命題為真命題，分兩種情況解不等式得a的取值范圍．
解答：解：（1）∵y=f（x+1）=a^x+1恒過定點M（1，4），
∴a¹⁺¹=4，∵a＞0
∴a=2
（2）若命題p為真命題，則函數f（x）=a^x在R上是增函數，∴a＞1
若命題q為真命題，則不等式x+|x-2a|＞1的解集為R
不等式x+|x-2a|＞1變形為|x-2a|＞1-x
去絕對值符號，得，x-2a＞1-x或x-2a＜x-1
即2x＞1+2a或2a＞1
∵不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，可知2a＞1
∴a＞
∵p和q中有且只有一個命題為真命題
∴若p真q假，則a＞1且a≤，∴a∈∅
若p假q真，則a≤1且a＞，∴＜a≤1
綜上所述，若p和q中有且只有一個命題為真命題則＜a≤1
點評：本題考查了復合函數的函數值的求法，命題的真假判斷與集合運算之間的關系，絕對值不等式的解法